ООО_Рабочая программа_Математика_5-9 класс

Приложение к ООП ООО
МБОУ «Лесогорская
СОШ» утверждена
приказом МБОУ
«Лесогорская СОШ»
от 31.08.2022 г. №129-ОД

Рабочая программа
по математике
для 5-9 класса
Срок реализации: 5 лет

Учитель:
Редькина М.О.
Казарцева О.П
Никольская
Г.И.

2022
2

Планируемые результаты. Личностные, метапредметные и

предметные результаты освоения учебного предмета «Математика»
5–9 классы
Личностными результатами изучения предмета «Математика» (в
виде следующих учебных курсов: 5–6 класс – «Математика», 7–9 класс –
«Математика» («Алгебра» и «Геометрия») являются следующие качества:
– независимость и критичность мышления;
– воля и настойчивость в достижении цели.
Средством достижения этих результатов является:
– система заданий учебников;
– представленная в учебниках в явном виде организация материала по
принципу минимакса;
– использование совокупности технологий, ориентированных на
развитие самостоятельности и критичности мышления: технология системнодеятельностного подхода в обучении, технология оценивания.
Метапредметными результатами изучения курса «Математика»
является формирование универсальных учебных действий (УУД).
Регулятивные УУД:
5–6-й классы
– самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему,
определять цель учебной деятельности, выбирать тему проекта;
–

выдвигать

версии

решения

проблемы,

осознавать

(и

интерпретировать в случае необходимости) конечный результат, выбирать
средства

достижения

цели

из

предложенных,

также

искать

их

самостоятельно;
– составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы
(выполнения проекта);
3

– работая по плану, сверять свои действия с целью и, при
необходимости, исправлять ошибки самостоятельно (в том числе и
корректировать план);
–

диалоге

учителем

совершенствовать

самостоятельно

выработанные критерии оценки.
7–9-й классы
– самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в
классной и индивидуальной учебной деятельности;
– выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный
результат, выбирать средства достижения цели из предложенных или их
искать самостоятельно;
– составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы
(выполнения проекта);
– подбирать к каждой проблеме (задаче) адекватную ей теоретическую
модель;
– работая по предложенному или самостоятельно составленному плану,
использовать наряду с основными и дополнительные средства (справочная
литература, сложные приборы, компьютер);
– планировать свою индивидуальную образовательную траекторию;
– работать по самостоятельно составленному плану, сверяясь с ним и
с целью деятельности, исправляя ошибки, используя самостоятельно
подобранные средства (в том числе и Интернет);
– свободно пользоваться выработанными критериями оценки и
самооценки, исходя из цели и имеющихся критериев, различая результат и
способы действий;
– в ходе представления проекта давать оценку его результатам;
– самостоятельно осознавать причины своего успеха или неуспеха и
находить способы выхода из ситуации неуспеха;
4

–

уметь

оценить

степень

успешности

своей индивидуальной

образовательной деятельности;
– давать оценку своим личностным качествам и чертам характера
(«каков я»), определять направления своего развития («каким я хочу стать»,
«что мне для этого надо сделать»).
Средством формирования регулятивных УУД служат технология
системно - деятельностного подхода на этапе изучения нового материала и
технология оценивания образовательных достижений (учебных успехов).
Познавательные УУД:
5–9-й классы
– анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и
явления;
–

осуществлять

сравнение,

сериацию

классификацию,

самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических
операций; строить классификацию путём дихотомического деления (на основе
отрицания);
–

строить логически обоснованное рассуждение, включающее

установление причинно-следственных связей;
– создавать математические модели;
– составлять тезисы, различные виды планов (простых, сложных и т.п.).
Преобразовывать информацию из одного вида в другой (таблицу в текст,
диаграмму и пр.);
– вычитывать все уровни текстовой информации.
– уметь определять возможные источники необходимых сведений,
производить

поиск

информации,

анализировать

достоверность.
5

оценивать

её

– понимая позицию другого человека, различать в его речи: мнение
(точку зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы, аксиомы,
теории. Для этого самостоятельно использовать различные виды чтения
(изучающее, просмотровое, ознакомительное, поисковое), приёмы слушания.
– самому создавать источники информации разного типа и для разных
аудиторий, соблюдать информационную гигиену и правила информационной
безопасности;
– уметь использовать компьютерные и коммуникационные технологии
как инструмент для достижения своих целей. Уметь выбирать адекватные
задаче инструментальные программно-аппаратные средства и сервисы.
Средством формирования познавательных УУД служат учебный
материал и прежде всего продуктивные задания учебника.
– Использование математических знаний для решения различных
математических задач и оценки полученных результатов.
–

Совокупность

умений

по

использованию

доказательной

математической речи.
– Совокупность умений по работе с информацией, в том числе и с
различными математическими текстами.
– Умения использовать математические средства для изучения и
описания реальных процессов и явлений.
– Независимость и критичность мышления.
– Воля и настойчивость в достижении цели.
Коммуникативные УУД:
5–9-й классы
– самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе
(определять общие цели, договариваться друг с другом и т.д.);
– отстаивая свою точку зрения, приводить аргументы, подтверждая их
фактами;
6

– в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы;
– учиться критично относиться к своему мнению, с достоинством
признавать ошибочность своего мнения (если оно таково) и корректировать
его;
– понимая позицию другого, различать в его речи: мнение (точку
зрения), доказательство (аргументы), факты; гипотезы, аксиомы, теории;
– уметь взглянуть на ситуацию с иной позиции и договариваться с
людьми иных позиций.
Средством формирования коммуникативных УУД служат технология
проблемного обучения, организация работы в малых группах, также
использование на уроках технологии личностно- ориентированного и
системно-деятельностного обучения.
Предметными

результатами

изучения

предмета

«Математика»

являются следующие умения.
5- й класс

Использовать при решении математических задач, их обосновании и
проверке найденного решения знание:


названий и последовательности чисел в натуральном ряду в

пределах 1 000 000 (с какого числа начинается этот ряд, как образуется каждое
следующее число в этом ряду);


как образуется каждая следующая счётная единица;



названия и последовательность разрядов в записи числа;



названия и последовательность первых трёх классов;



сколько разрядов содержится в каждом классе;



соотношение между разрядами;



сколько единиц каждого класса содержится в записи числа;



как устроена позиционная десятичная система счисления;



единицы измерения величин (длина, масса, время, площадь),

соотношения между ними;
7



десятичных дробях и правилах действий с ними;

- сравнивать десятичные дроби;


выполнять операции над десятичными дробями;



преобразовывать десятичную дробь в обыкновенную и наоборот;



округлять целые числа и десятичные дроби;



находить приближённые значения величин с недостатком и

избытком;


выполнять приближённые вычисления и оценку числового

выражения;



функциональной

связи

между

группами

величин

(цена,

количество, стоимость; скорость, время, расстояние; производительность
труда, время работы, работа).
Выполнять устные вычисления (в пределах 1 000 000) в случаях,
сводимых к вычислениям в пределах 100, и письменные вычисления в
остальных случаях; выполнять проверку правильности вычислений;


выполнять умножение и деление с 1000;



вычислять значения числовых выражений, содержащих 3–4

действия со скобками и без них;


решать простые и составные текстовые задачи;



выписывать множество всевозможных результатов (исходов)

простейших случайных экспериментов;


находить вероятности простейших случайных событий;



решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью

таблиц и графов) комбинаторные задачи: на перестановку из трёх элементов,
правило произведения, установление числа пар на множестве из 3–5
элементов;


решать удобным для себя способом (в том числе и с помощью

таблиц и графов) логические задачи, содержащие не более трёхвысказываний;
8



читать информацию, записанную с помощью линейных,

столбчатых и круговых диаграмм;


строить

простейшие

линейные,

столбчатые

круговые

диаграммы;
- находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в
которых используются математические средства;
- создавать продукт (результат проектной деятельности), для изучения
и описания которого используются математические средства.
6- й класс

Использовать при решении математических задач, их обосновании и
проверке найденного решения знание о:


раскладывать натуральное число на простые множители;



находить наибольший общий делитель и наименьшее общее

кратное нескольких чисел;
- отношениях и пропорциях; основном свойстве пропорции;


прямой и обратной пропорциональных зависимостях и их

свойствах;


процентах;



целых и дробных отрицательных числах; рациональных числах;



правиле сравнения рациональных чисел;



правилах выполнения операций над рациональными числами;

свойствах операций.


делить число в данном отношении;



находить неизвестный член пропорции;



находить данное количество процентов от числа и число по

известному количеству процентов от него;


находить, сколько процентов одно число составляет от другого;



увеличивать и уменьшать число на данное количество процентов;



решать текстовые задачи на отношения, пропорции и проценты;
9



сравнивать два рациональных числа;



выполнять операции над рациональными числами, использовать

свойства операций для упрощения вычислений;


решать комбинаторные задачи с помощью правила умножения;



находить вероятности простейших случайных событий;



решать

простейшие

задачи

на

осевую

центральную

симметрию;


решать простейшие задачи на разрезание и составление

геометрических фигур;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

изучения и описания которого используются математические средства.
7- й класс.

Алгебра
Использовать при решении математических задач, их обосновании и
проверке найденного решения знание о:


натуральных,

целых,

рациональных,

иррациональных,

действительных числах;


степени с натуральными показателями и их свойствах;



одночленах и правилах действий с ними;



многочленах и правилах действий с ними;



формулах сокращённого умножения;



тождествах; методах доказательства тождеств;



линейных уравнениях с одной неизвестной и методах их

решения;


системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными и

методах их решения.


Выполнять действия с одночленами и многочленами;
10



узнавать в выражениях формулы сокращённого умножения и

применять их;


раскладывать многочлены на множители;



выполнять

тождественные

преобразования

целых

алгебраических выражений;


доказывать простейшие тождества;



находить число сочетаний и число размещений;



решать линейные уравнения с одной неизвестной;



решать

системы

двух

линейных

уравнений

двумя

неизвестными методом подстановки и методом алгебраического сложения;


решать текстовые задачи с помощью линейных уравнений и

систем;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

изучения и описания которого используются математические средства.
Геометрия
Использовать при решении математических задач, их обосновании и
проверке найденного решения знание о:


основных геометрических понятиях: точка, прямая, плоскость,

луч, отрезок, ломаная, многоугольник;


определении угла, биссектрисы угла, смежных и вертикальных

углов;


свойствах смежных и вертикальных углов;



определении

равенства

геометрических

фигур;

признаках

равенства треугольников;


геометрических местах точек; биссектрисе угла и серединном

перпендикуляре к отрезку как геометрических местах точек;
11



определении параллельных прямых; признаках и свойствах

параллельных прямых;


аксиоме параллельности и её краткой истории;



формуле суммы углов треугольника;



определении и свойствах средней линии треугольника;



теореме Фалеса.



Применять свойства смежных и вертикальных углов при

решении задач;


находить в конкретных ситуациях равные треугольники и

доказывать их равенство;


устанавливать параллельность прямых и применять свойства

параллельных прямых;


применять теорему о сумме углов треугольника;



использовать теорему о средней линии треугольника и теорему

Фалеса при решении задач;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

изучения и описания которого используются математические средства.
8- й класс.

алгебраической дроби; основном свойстве дроби;



правилах действий с алгебраическими дробями;



степенях с целыми показателями и их свойствах;



стандартном виде числа;
функциях

, их свойствах и графиках;
12



понятии квадратного корня и арифметического квадратного

корня;


свойствах арифметических квадратных корней;



функции



формуле для корней квадратного уравнения;



теореме

, её свойствах и графике;
Виета

для

приведённого

общего

квадратного

уравнения;


основных методах решения целых рациональных уравнений:

методе разложения на множители и методе замены неизвестной;


методе решения дробных рациональных уравнений;



основных методах решения систем рациональных уравнений.



Сокращать алгебраические дроби;



выполнять

арифметические

действия

алгебраическими

дробями;


использовать свойства степеней с целыми показателями при

решении задач;


записывать числа в стандартном виде;



выполнять

тождественные

преобразования

рациональных

выражений;


строить графики функций

и использовать их

свойства при решении задач;


вычислять арифметические квадратные корни;



применять свойства арифметических квадратных корней при

решении задач;


строить график функции

и использовать его свойства при

решении задач;


решать квадратные уравнения;



применять теорему Виета при решении задач;



решать целые рациональные уравнения методом разложения на

множители и методом замены неизвестной;
13



решать дробные уравнения;



решать системы рациональных уравнений;



решать

текстовые

задачи

помощью

квадратных

рациональных уравнений и их систем;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

определении параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата;

их свойствах и признаках;


определении трапеции; элементах трапеции; теореме о средней

линии трапеции;


определении окружности, круга и их элементов;



теореме об измерении углов, связанных с окружностью;



определении и свойствах касательных к окружности; теореме о

равенстве двух касательных, проведённых из одной точки;


определении вписанной и описанной окружностей, их свойствах;



определении

тригонометрические

функции

острого

угла,

основных соотношений между ними;


приёмах решения прямоугольных треугольников;



тригонометрических функциях углов от 0 до 180°;



теореме косинусов и теореме синусов;



приёмах решения произвольных треугольников;



формулах

для

площади

трапеции;


теореме Пифагора.
14

треугольника,

параллелограмма,



Применять признаки и свойства параллелограмма, ромба,

прямоугольника, квадрата при решении задач;


решать простейшие задачи на трапецию;



находить градусную меру углов, связанных с окружностью;

устанавливать их равенство;


применять свойства касательных к окружности при решении

задач;


решать задачи на вписанную и описанную окружность;



выполнять основные геометрические построения с помощью

циркуля и линейки;


находить значения тригонометрических функций острого угла

через стороны прямоугольного треугольника;


применять

соотношения

между

тригонометрическими

функциями при решении задач; в частности, по значению одной из функций
находить значения всех остальных;


решать прямоугольные треугольники;



сводить работу с тригонометрическими функциями углов от 0 до

180° к случаю острых углов;


применять теорему косинусов и теорему синусов при решении

задач;


решать произвольные треугольники;



находить площади треугольников, параллелограммов, трапеций;



применять теорему Пифагора при решении задач;



находить простейшие геометрические вероятности;



находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

изучения и описания которого используются математические средства.

9- й класс.

свойствах числовых неравенств;



методах решения линейных неравенств;



свойствах квадратичной функции;



методах решения квадратных неравенств;



методе интервалов для решения рациональных неравенств;



методах решения систем неравенств;



свойствах и графике функции



определении и свойствах корней степени n;



степенях с рациональными показателями и их свойствах;



определении и основных свойствах арифметической прогрессии;

при натуральном n;

формуле для нахождения суммы её нескольких первых членов;


определении и основных свойствах геометрической прогрессии;

формуле для нахождения суммы её нескольких первых членов;


формуле для суммы бесконечной геометрической прогрессии со

знаменателем, меньшим по модулю единицы.


Использовать свойства числовых неравенств для преобразования

неравенств;


доказывать простейшие неравенства;



решать линейные неравенства;



строить график квадратичной функции и использовать его при

решении задач;


решать квадратные неравенства;



решать рациональные неравенства методом интервалов;



решать системы неравенств;



строить график функции

его при решении задач;
16

при натуральном nи использовать



находить корни степени n;



использовать свойства корней степени nпри тождественных

преобразованиях;


находить значения степеней с рациональными показателями;



решать основные задачи на арифметическую и геометрическую

прогрессии;


находить сумму бесконечной геометрической прогрессии со

знаменателем, меньшим по модулю единицы;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

признаках подобия треугольников;



теореме о пропорциональных отрезках;



свойстве биссектрисы треугольника;



пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике;



пропорциональных отрезках в круге;



теореме об отношении площадей подобных многоугольников;



свойствах правильных многоугольников; связи между стороной

правильного многоугольника и радиусами вписанного и описанного кругов;


определении длины окружности и формуле для её вычисления;



формуле площади правильного многоугольника;



определении площади круга и формуле для её вычисления;

формуле для вычисления площадей частей круга;


правиле нахождения суммы и разности векторов, произведения

вектора на скаляр; свойства этих операций;
17



определении координат вектора и методах их нахождения;



правиле выполнений операций над векторами в координатной

форме;


определении скалярного произведения векторов и формуле для

его нахождения;


связи между координатами векторов и координатами точек;



векторным и координатным методах решения геометрических

задач.


формулах объёма основных пространственных геометрических

фигур: параллелепипеда, куба, шара, цилиндра, конуса.


Применять признаки подобия треугольников при решении задач;



решать простейшие задачи на пропорциональные отрезки;



решать простейшие задачи на правильные многоугольники;



находить длину окружности, площадь круга и его частей;



выполнять операции над векторами в геометрической и

координатной форме;


находить скалярное произведение векторов и применять его для

нахождения различных геометрических величин;


решать геометрические задачи векторным и координатным

методом;


применять

геометрические

преобразования

плоскости

при

решении геометрических задач;


находить объёмы основных пространственных геометрических

фигур: параллелепипеда, куба, шара, цилиндра, конуса;


находить решения «жизненных» (компетентностных) задач, в

которых используются математические средства;


создавать продукт (результат проектной деятельности), для

изучения и описания которого используются математические средства.
II.

Содержание учебного курса.

МАТЕМАТИКА 5 - 6 КЛАССЫ
18

АРИФМЕТИКА
Натуральные числа. Натуральный ряд. Десятичная система счисления.
Арифметические

действия

натуральными

числами.

Свойства

арифметических действий.
Понятие о степени с натуральным показателем. Квадрат и куб числа.
Числовое выражение, значение числового

выражения. Порядок

действий в числовых выражениях, использование скобок. Решение текстовых
задач арифметическими способами. Делители и кратные. Наибольший общий
делитель, наименьшее общее кратное. Свойства делимости. Признаки
делимости на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение
натурального числа на простые множители. Деление с остатком.
Дроби. Обыкновенные дроби. Основное свойство дроби. Сравнение
обыкновенных дробей. Арифметические действия с обыкновеннымидробями.
Нахождение части от целого и целого по его части.
Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Арифметические
действия с десятичными дробями. Представление десятичной дроби в виде
обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.
Отношение. Пропорция; основное свойство пропорции. Проценты;
нахождение процента от величины и величины по ее процентам, выражение
отношения в процентах.
Решение текстовых задач арифметическими способами.
Рациональные числа. Положительные и отрицательные числа, модуль
числа. Изображение чисел точками координатной прямой; геометрическая
интерпретация

модуля

числа.

Множество

целых

чисел.

Множество

рациональных чисел.
Сравнение

рациональных

чисел.

Арифметические

действия

рациональными числами. Свойства арифметических действий.
Измерения, приближения, оценки. Зависимости между величинами.
Единицы измерения длины, площади, объёма, массы, времени, скорости.
Примеры зависимостей между величинами скорость, время,
19

расстояние;

производительность,

время,

работа;

цена,

количество,

стоимость и др. Представление зависимостей в виде формул. Вычисленияпо
формулам. Решение текстовых задач арифметическими способами.
ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
Использование букв для обозначения чисел; для записи свойств
арифметических

действий.

Буквенные

выражения

(выражения

переменными). Числовое значение буквенного выражения. Уравнение, корень
уравнения. Нахождение неизвестных компонентов арифметических действий.
Декартовы координаты на плоскости. Построение точки по её координатам,
определение координат точки на плоскости.
ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ВЕРОЯТНОСТЬ.
КОМБИНАТОРИКА. МНОЖЕСТВА
Представление данных в виде таблиц, диаграмм. Понятие о случайном
опыте и событии. Достоверное и невозможное события. Сравнение шансов.
Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Множество, элемент
множества. Пустое множество. Подмножество. Объединение и пересечение
множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью
диаграмм Эйлера — Венна.
НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Наглядные представления о фигурах на плоскости: прямая, отрезок, луч,
угол, ломаная, многоугольник, правильный многоугольник, окружность, круг.
Четырёхугольник, прямоугольник, квадрат. Треугольник, видытреугольников.
Изображение геометрических фигур. Взаимное расположение двух прямых,
двух окружностей, прямой и окружности. Длина отрезка, ломаной. Периметр
многоугольника. Единицы измерения длины. Измерение длины отрезка,
построение отрезка заданной длины. Угол. Виды углов. Градусная мера угла.
Измерение и построение углов с помощью
20

транспортира. Понятие площади фигуры; единицы измерения площади.
Площадь прямоугольника, квадрата. Равновеликие фигуры. Наглядные
представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма,
пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных
фигур. Примеры сечений. Многогранники, правильные многогранники.
Примеры развёрток многогранников, цилиндра и конуса. Понятие объёма;
единицы объёма.
Объём прямоугольного параллелепипеда, куба. Понятие о равенстве
фигур.

Центральная,

осевая

зеркальная

симметрии.

Изображение

симметричных фигур.
МАТЕМАТИКА В ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби,
недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений,
иррациональные числа. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне,
Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные системы мер.
Десятичные дроби и метрическая система мер. Появление отрицательных
чисел и нуля. Л. Магницкий. Л. Эйлер.
АЛГЕБРА 7 – 9 КЛАССЫ
АРИФМЕТИКА
Рациональные числа. Расширение множества натуральных чисел до
множества целых. Множества целых чисел до множества рациональных.
Рациональное число как отношение m/n, где т — целое число, n —
натуральное. Степень с целым показателем.
Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей
степени. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа и
несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения
иррациональных чисел.
21

Множество действительных чисел; представление действительныхчисел
бесконечными десятичными дробями. Сравнение действительных чисел.
Координатная прямая. Изображение чисел точками координатной
прямой. Числовые промежутки.
Измерения, приближения, оценки. Размеры объектов окружающего
мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в
окружающем мире. Выделение множителя — степени десяти в записи числа.
Приближенное

значение

величины,

точность

приближения.

Округление натуральных чисел и десятичных дробей. Прикидка и оценка
результатов вычислений.
АЛГЕБРА
Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с
переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые
значения

переменных.

Подстановка

выражений

вместо

переменных.

Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических
действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.
Степень с натуральным показателем и ее свойства. Одночлены и
многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение
многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат
разности. Формула разности квадратов. Преобразование целого выражения в
многочлен. Разложение многочлена на множители. Многочлены с одной
переменной.

Корень

многочлена.

Квадратный

трехчлен;

разложение

квадратного трехчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби.
Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степеньс
целым показателем и ее свойства.
Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство
тождеств.
22

Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их
применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям.
Уравнения. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения.
Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
Линейное

уравнение.

Квадратное

уравнение:

формула

корней

квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к
линейным и квадратным. Примеры решения уравнений третьей и четвертой
степени. Решение дробно-рациональных уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя
переменными, примеры решения уравнений в целых числах.
Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем.
Система двух линейных уравнений с двумя переменными: решение
подстановкой и сложением. Примеры решения систем нелинейныхуравнений
с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация
уравнения с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя
переменными; угловой коэффициент прямой; условие параллельности
прямых. Графики простейших нелинейных уравнений: парабола, гипербола,
окружность. Графическая интерпретация систем уравнений с двумя
переменными.
Неравенства. Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство

одной

переменной.

Равносильность

неравенств.

Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Система
неравенств с одной переменной.
ФУНКЦИИ
Основные понятия. Зависимости между величинами. Понятие
функции. Область определения и множество значений функции. Способы
23

задания функции. График функции. Свойства функций, их отображение на
графике. Примеры графиков зависимостей, отражающих реальные процессы.
Числовые функции. Функции, описывающие прямую и обратную
пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Линейная функция,
ее график и свойства. Квадратичная функция, ее график и свойства.
Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их графики и
свойства. Графики функций y = , y = , у = | x |.
Числовые

последовательности.

Понятие

числовой

последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и
формулой n-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена
арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками
координатной плоскости.
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА
Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц,
диаграмм,

графиков.

характеристики

набора

Случайная
данных:

изменчивость.

среднее

Статистические

арифметическое,

медиана,

наибольшее и наименьшее значения, размах. Представление о выборочном
исследовании.
Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и
случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к
понятию вероятности. Вероятности противоположных событий. Независимые
события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события.
Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.
Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и факториал.

ЛОГИКА И МНОЖЕСТВА
Теоретико-множественные понятия. Множество, элемент множества.
Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством.
Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его
обозначение. Подмножество. Объединение и пересечение множеств, разность
множеств.
Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм
Эйлера–Венна.
Элементы

логики.

Понятие

равносильности,

следовании,

употребление логических связок «если …, то …», «в том и только том случае»,
логические связки «и», «или».
МАТЕМАТИКА В ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби,
недостаточность рациональных чисел для геометрических измерений,
иррациональные числа. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне,
Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные системы мер.
Десятичные дроби и метрическая система мер. Появление отрицательных
чисел и нуля. Л. Магницкий. Л. Эйлер.
Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение
буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о
нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в
радикалах уравнений степени, большей четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано,
Н.Х. Абель, Э. Галуа.
Изобретение

метода

координат,

позволяющего

переводить

геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры
различных систем координат на плоскости.
Задача

Леонардо

Пизанского

Фибоначчи. Задача о шахматной доске.
25

(Фибоначчи)

кроликах,

числа

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма
и Б. Паскаль. Я. Бернулли. А.Н. Колмогоров.
ГЕОМЕТРИЯ 7 – 9 КЛАССЫ
Наглядная геометрия. Наглядные представления о пространственных
фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр.
Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники.
Правильные многогранники. Примеры развёртокмногогранников, цилиндра и
конуса.

Понятие

объёма;

единицы

объёма.

Объём

прямоугольного

параллелепипеда, куба.
Геометрические фигуры. Прямые и углы. Точка, прямая, плоскость.
Отрезок, луч. Угол. Виды углов. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса
угла.
Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Перпендикуляр и
наклонная к прямой. Серединный перпендикуляр к отрезку.
Геометрическое место точек. Свойства биссектрисы угла и серединного
перпендикуляра к отрезку.
Треугольник.

Высота,

медиана,

биссектриса,

средняя

линия

треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и
признаки

равнобедренного

треугольника.

Признаки

равенства

треугольников. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и
углами треугольника.
Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Теорема
Фалеса. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Теорема
Пифагора. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного
треугольника и углов от 0 до 180°; приведение к острому углу. Решение
прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество.
Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же
26

угла. Решение треугольников: теорема косинусов и теорема синусов.
Замечательные точки треугольника.
Четырехугольник.

Параллелограмм,

его

свойства

признаки.

Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя
линия трапеции.
Многоугольник. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого
многоугольника. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный угол,
вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой
и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, их
свойства. Вписанные и описанные многоугольники. Окружность, вписанная
в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и
описанные окружности правильного многоугольника.
Геометрические преобразования. Понятие о равенстве фигур. Понятие
о движении: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос,
поворот. Понятие о подобии фигур и гомотетии.
Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на
построение: деление отрезка пополам; построение угла, равного данному;
построение треугольника по трем сторонам; построение перпендикуляра к
прямой; построение биссектрисы угла; деление отрезка на n равных частей.
Решение задач на вычисление, доказательство и построение с
использованием свойств изученных фигур.
Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Расстояние от
точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Периметр
многоугольника. Длина окружности, число π; длина дуги окружности.
Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и
длиной

дуги

окружности.

Понятие

площади

плоских

фигур.

Равносоставленные и равновеликие фигуры. Площадь прямоугольника.
Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. Площадь
27

многоугольника. Площадь круга и площадь сектора. Соотношение между
площадями подобных фигур.
Решение задач на вычисление и доказательство с использованием
изученных формул.
Координаты. Уравнение прямой. Координаты середины отрезка.
Формула

расстояния

между

двумя

точками

плоскости.

Уравнение

окружности.
Векторы. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные
векторы. Координаты вектора. Умножение вектора на число, сумма векторов,
разложение

вектора

по

двум

неколлинеарным

векторам. Скалярное

произведение векторов.
Теоретико-множественные понятия. Множество, элемент множества.
Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством.
Подмножество. Объединение и пересечение множеств.
Элементы логики. Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство.
Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и
контрпример.

Понятие

равносильности,

следовании,

употребление

логических связок если ..., то ..., в том и только в том случае, логические
связки и, или.
Геометрия в историческом развитии. От землемерия к геометрии.
Пифагор

его

школа.

Фалес.

Архимед.

Построение

правильных

многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История
числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский.
История пятого постулата. Изобретение метода координат, позволяющего
переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма.
III.

Тематическое планирование.
МАТЕМАТИКА
5—6 классы
28

Основное содержание по
темам
1

Характеристика основных
видов деятельности ученика
(на уровне учебных действий)
2

Метапредметные умения и навыки
3

1. Натуральные числа
Натуральный ряд. Десятичная система счисления. Арифметические
действия с натуральными числами.
Свойства
арифметических
действий.
Понятие о степени с натуральным
показателем.
Квадрат и куб числа.
Числовые выражения, значение
числового выражения. Порядок
действий в числовых выражениях,
использование скобок.
Решение
текстовых
задач
арифметическими способами.
Делители и кратные. Наибольший
общий делитель; наименьшее
общее кратное. Свойства
делимости. Признаки делимости
на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и
составные числа. Разложение
натурального числа на простые
множители. Деление с остатком

Описывать свойства натурального
ряда.
Читать и записывать натуральные
числа, сравнивать и упорядочивать
их.
Выполнять
вычисления
с
натуральными числами; вычислять
значения степеней.
Формулировать
свойства
арифметических
действий,
записывать их с помощью букв,
преобразовывать на их основе
числовые выражения.
Анализировать и осмысливать
текст задачи, переформулировать
условие, извлекать необходимую
информацию,
моделировать
условие с помощью схем, рисунков,
реальных
предметов;
строить
логическую цепочку рассуждений;
критически оценивать полученный
ответ, осуществлять самоконтроль,
проверяя ответ на соответствие
условию.
Формулировать
определения
делителя и кратного, простого числа
и составного числа, свойства и признаки делимости.
Доказывать и опровергать с помощью контрпримеров утверждения
о делимости чисел. Классифицировать натуральные числа
(четные и нечетные, по остаткам от
деления на 3 и т. п.).
Исследовать простейшие числовые
закономерности, проводить
числовые эксперименты (в том
числе с использованием
калькулятора, компьютера)
2. Дроби

Обыкновенные дроби. Основное
свойство
дроби.
Сравнение
обыкновенных
дробей.
Арифметические
действия
с
обыкновенными
дробями.
Нахождение части от целого и це-

Моделировать в графической,
предметной форме понятия и свойства, связанные с понятием
обыкновенной дроби.
Формулировать, записывать с
помощью букв основное свойство

Понимать
сущности
алгоритмических
предписаний и умение действовать
в
соответствии
с
предложенным алгоритмом.
Умение
самостоятельно

лого по его части.
Десятичные дроби. Сравнение
десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Представление десятичной
дроби в виде обыкновенной дроби
и обыкновенной в виде десятичной.
Отношение. Пропорция; основное
свойство пропорции.
Проценты; нахождение процентов
от величины и величины по ее
процентам; выражение отношения
в процентах.
Решение текстовых задач
арифметическими способами

обыкновенной
дроби,
правила
действий
с
обыкновенными
дробями.
Преобразовывать обыкновенные
дроби, сравнивать и упорядочивать
их. Выполнять вычисления с
обыкновенными дробями.
Читать и записывать десятичные
дроби.
Представлять
обыкновенные дроби в виде десятичных и
десятичные в виде обыкновенных;
находить десятичные приближения
обыкновенных дробей.
Сравнивать и упорядочивать
десятичные
дроби.
Выполнять
вычисления с десятичными дробями.
Использовать
эквивалентные
представления дробных чисел при
их сравнении, при вычислениях.
Выполнять прикидку и оценку в
ходе вычислений.
Объяснять, что такое процент.
Представлять проценты в виде
дробей и дроби в виде процентов.
Осуществлять поиск информации
(в СМИ), содержащей данные,
выраженные
в
процентах,
интерпретировать их. Приводить
примеры использования отношений
на практике.
Решать задачи на проценты и дроби
(в том числе задачи из реальной
практики),
используя
при
необходимости калькулятор; использовать понятия отношения и
пропорции при решении задач.
Анализировать и осмысливать
текст задачи, переформулировать
условие, извлекать необходимую
информацию,
моделировать
условие с помощью схем, рисунков,
реальных
предметов;
строить
логическую цепочку рассуждений;
критически оценивать полученный
ответ, осуществлять самоконтроль,
проверяя ответ на соответствие
условию.
Проводить несложные исследования, связанные со свойствами
дробных чисел, опираясь на
числовые эксперименты ( в том
числе с использованием калькулятора, компьютера)
3. Рациональные числа

ставить цели, выбирать и
создавать алгоритмы для
решения
учебных
математических проблем;

Положительные и отрицательные числа, модуль числа.
Изображение чисел точками
координатной прямой;
геометрическая интерпретация
модуля числа.
Множество целых чисел.
Множество рациональных чисел.
Сравнение рациональных чисел.
Арифметические действия с
рациональными числами. Свойства арифметических действий

Приводить примеры использования
Понимать
сущности
в окружающем мире положиалгоритмических
тельных и отрицательных чисел
предписаний и умение
(температура, выигрыш — проигдействовать в соотрыш, выше — ниже уровня моря и т.
ветствии с предложенп.).
ным алгоритмом.
Изображать точками координатной
Умение понимать и
прямой положительные и отиспользовать математирицательные рациональные числа.
ческие
средства
Характеризовать множество целых
наглядности (графики,
чисел, множество рациональных чидиаграммы,
таблицы,
сел.
схемы и др.) для илФормулировать и записывать с
люстрации, интерпретапомощью букв свойства действий с
ции, аргументации;
рациональными числами, применять для преобразования числовых
выражений.
Сравнивать и упорядочивать
рациональные числа, выполнять
вычисления с рациональными числами
4. Измерения, приближения, оценки. Зависимости между величинами

Примеры зависимостей между
величинами скорость, время,
расстояние; производительность, время, работа; цена,
количество, стоимость и др.
Представление зависимостей в
виде формул. Вычисления по
формулам.
Решение текстовых задач
арифметическими способами

Выражать одни единицы измерения
величины в других единицах (метры
в километрах, минуты в часах и т.
п.).
Округлять натуральные числа и
десятичные дроби. Выполнять прикидку и оценку в ходе вычислений.
Моделировать несложные зависимости
с
помощью
формул;
выполнять вычисления по формулам.
Использовать знания о зависимостях между величинами (скорость,
время,
расстояние;
работа,
производительность, время и т. п . )
при решении текстовых задач
5. Элементы алгебры

Уметь видеть математическую задачу в контексте
проблемной ситуации в
других
дисциплинах,
в
окружающей жизни

Использование букв для обозначения чисел, для записи свойств
арифметических действий.
Буквенные выражения (выражения
с переменными). Числовое значение буквенного выражения.
Уравнение, корень уравнения.
Нахождение
неизвестных
компонентов
арифметических
действий.
Декартовы координаты на плоскости. Построение точки по ее
координатам, определение координат точки на плоскости

Читать и записывать буквенные
выражения, составлять буквенные
выражения по условиям задач.
Вычислять числовое значение
буквенного выражения при заданных значениях букв.
Составлять уравнения по условиям
задач.
Решать
простейшие
уравнения на основе зависимостей
между
компонентами
арифметических действий.
Строить на координатной плоскости точки и фигуры по заданным
координатам;
определять
координаты точек

Уметь видеть
математическую задачу в
контексте проблемной
ситуации в окружающей
жизни.
Понимать сущности
алгоритмических предписаний и умение действовать
в соответствии с
предложенным алгоритмом.
Первоначальные
представления об идеях и о
методах математики как
универсальном языке науки
и
техники,
средстве

моделирования явлений и
процессов;

6. Описательная статистика. Вероятность. Комбинаторика. Множества
Представление данных в виде таблиц, диаграмм.
Понятие о случайном опыте и
событии.
Достоверное
и
невозможное события. Сравнение
шансов.
Решение комбинаторных задач
перебором вариантов

Извлекать информацию из таблиц
и диаграмм, выполнять вычисления по табличным данным,
сравнивать величины, находить
наибольшие и наименьшие значения
и др.
Выполнять сбор информации в
несложных случаях, представлять
информацию в виде таблиц и
диаграмм, в том числе с помощью
компьютерных программ.
Приводить примеры случайных
событий, достоверных и невозможных событий. Сравнивать шансы
наступления событий; строить
речевые конструкции с использованием
словосочетаний
более
вероятно, маловероятно и др.
Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций, выделять
комбинации, отвечающие заданным
условиям
Приводить примеры конечных и
бесконечных множеств. Находить
объединение и пересечение
конкретных множеств. Приводить
примеры несложных классификаций
из различных областей жизни.
Иллюстрировать теоретикомножественные понятия с помощью
кругов Эйлера
7. Наглядная геометрия

Уметь видеть
математическую задачу в
контексте проблемной ситуации в окружающей
жизни.
Умение выдвигать гипотезы
при решении учебных задач,
понимать необходимость их
проверки

Наглядные представления о фигурах на
плоскости: прямая, отрезок, луч, угол,
ломаная, многоугольник, правильный
многоугольник, окружность, круг. Четырехугольник, прямоугольник, квадрат.
Треугольник, виды треугольников.
Изображение геометрических фигур.
Взаимное расположение двух прямых,
двух окружностей, прямой иокружности.
Длина отрезка, ломаной. Периметр
многоугольника. Единицы измерения
длины. Измерение длины отрезка,
построение отрезка заданной длины.
Угол. Виды углов. Градусная мера угла.
Измерение и построение углов с помощью транспортира.
Понятие площади фигуры; единицы
измерения
площади.
Площадь
прямоугольника и площадь квадрата.
Равновеликие фигуры.
Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар,
сфера, конус, цилиндр. Изображение
пространственных фигур. Примеры
сечений. Многогранники, правильные
многогранники. Примеры разверток
многогранников, цилиндра и конуса.
Понятие объема; единицы объема.
Объем прямоугольного параллелепипеда
и объем куба.
Понятие о равенстве фигур. Центральная, осевая и зеркальная симметрии. Изображение симметричных
фигур

Распознавать на чертежах,
рисунках и моделях геометрические
фигуры,
конфигурации фигур (плоские
и пространственные). Приводить примеры аналогов геометрических фигур в окружающем мире.
Изображать геометрические
фигуры и их конфигурации от
руки и с использованием
чертежных
инструментов.
Изображать геометрические
фигуры на клетчатой бумаге.
Измерять
с
помощью
инструментов и сравнивать
длины отрезков и величины
углов.
Строить
отрезки
заданной длины с помощью
линейки и циркуля и углы
заданной
величины
с
помощью транспортира. Выражать
одни
единицы
измерения длин через другие.
Вычислять
площади
квадратов и прямоугольников,
используя формулы площади
квадрата и площади прямоугольника.
Выражать одни единицы
измерения площади через другие.
Изготавливать
пространственные фигуры из
разверток;
распознавать
развертки куба, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра и
конуса.
Рассматривать
простейшие сечения пространственных
фигур,
получаемые
путем
предметного или компьютерного
моделирования, определять
их вид.
Вычислять объемы куба и
прямоугольного параллелепипеда, используя формулы объема куба и объема прямоугольного параллелепипеда.
Выражать одни единицы
измерения
объема
через
другие.
Исследовать и описывать
свойства геометрических фигур (плоских и пространственных), используя эксперимент, наблюдение, измерение.
33

Строить логическую цепочку
рассуждений,
сопоставлять полученный
результат
с
условием
задачи.
Умение
применять
индуктивные и дедуктивные
способы рассуждений, видеть различные стратегии
решения задач
Умение
планировать и
осуществлять деятельность,
направленную на решение
задач
исследовательского
характера;

Моделировать
геометрические объекты, используя
бумагу, пластилин, проволоку
и др. Использовать компьютерное моделирование и
эксперимент для изучения
свойств геометрических объектов.
Находить в окружающеммире
плоские и простран- ственные
симметричные
фигуры.
Решать задачи на нахождение
длин отрезков, периметров
многоугольников, градусной
меры
углов,
площадей
квадратов и прямоугольников,
объемов кубов и прямоугольных параллелепипедов, куба.
Выделять в условии задачи
данные, необходимые для ее
решения, строить логическую
цепочку
рассуждений,
сопоставлять
полученный
результат с условием задачи.
Изображать равные фигуры,
симметричные фигуры
Резерв времени

Тематическое планирование
Математика 7-9 классы
Раздел «Алгебра»
Основное содержание по
темам

1
Расширение множества натуральных
чисел
до
множества
целых,
множества целых чисел до множества рациональных. Рациональное
число как отношение
т/п, где т

Характеристика
основных видов деятельности ученика (на
уровне учебных действий)
2
1. Действительные числа
Описывать множество целых
чисел, множество рациональных чисел, соотношение между этими множествами.
Сравнивать и упорядочивать
34

Метапредметные умения
и навыки

3
Умение понимать и использовать математические средства
наглядности
(графики,
диаграммы, таблицы, схемы и
др.)
для
иллюстрации,

— целое число, а п — натуральное
число.
Степень с целым показателем.
Квадратный корень из числа. Корень
третьей степени.
Понятие об иррациональном числе.
Иррациональность
числа√2
и
несоизмеримость стороны и
диагонали квадрата. Десятичные
приближения
иррациональных
чисел.
Множество действительных чисел;
представление
действительных
чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Сравнение действительных чисел.
Взаимно однозначное соответствие
между действительными числами и
точками координатной прямой.
Числовые промежутки: интервал,
отрезок, луч

2.
Приближенное значение
величины, точность приближения.
Размеры объектов окружающего
мира (от элементарных частиц до
Вселенной), длительность процессов
в окружающем мире. Выделение
множителя — степени 10 в записи
числа.
Прикидка и оценка результатов
вычислений

рациональные числа, выполнять вычисления с рациональными числами, вычислять
значения степеней с целым
показателем.
Формулировать определение
квадратного корня из числа.
Использовать график функции у = х2 для нахождения
квадратных
корней.
Вычислять точные и приближенные
значения
корней,
используя при необходимости
калькулятор; проводить оценку
квадратных корней.
Формулировать определение
корня третьей степени; находить значения кубических корней,
при
необходимости
используя, калькулятор.
Приводить примеры иррациональных чисел; распознавать
рациональные и иррациональные числа; изображать числа
точками координатной прямой.
Находить
десятичные
приближения рациональных и
иррациональных
чисел;
сравнивать и упорядочивать
действительные числа.
Описывать множество
действительных чисел.
Использовать в письменной
математической
речи
обозначения и графические
изображения числовых множеств,
теоретико-множественную символику

интерпретации, аргументации.
Умение находить в различных
источниках
информацию,
необходимую для решения
математических
проблем,
представлять ее в понятной
форме, принимать решение в
условиях
неполной
и
избыточной, точной и вероятностной информации.

Измерения, приближения, оценки
Находить, анализировать, сопоставлять числовые характеристики объектов окружающего мира.
Использовать запись чисел в
стандартном виде для выражения
размеров
объектов,
длительности процессов в
окружающем мире.
Сравнивать
числа
и
величины,
записанные
с
использованием степени 10.
Использовать разные формы
записи приближенных значений; делать выводы о точности
35

Умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах,
в
окружающей
жизни.
Выполнять вычисления с
реальными данными.

приближения
по
записи
приближенного значения.
Выполнять вычисления с
реальными данными.
Выполнять прикидку и
оценку результатов
вычислений
3. Введение в алгебру
Буквенные выражения
(выражения с переменными).
Числовое значение буквенного
выражения. Допустимые значения
переменных. Подстановка выражений вместо переменных.
Преобразование буквенных
выражений на основе свойств
арифметических действий. Равенство буквенных выражений.
Тождество

Выполнять элементарные знаково-символические действия:
применять
буквы
для
обозначения чисел, для записи
общих утверждений; составлять буквенные выражения по
условиям, заданным словесно,
рисунком
или
чертежом;
преобразовывать алгебраические суммы и произведения
(выполнять
приведение
подобных
слагаемых,
раскрытие скобок, упрощение
произведений).
Вычислять числовое значение
буквенного выражения; находить область допустимых
значений переменных в
выражении
4. Многочлены

Понимание
сущности
алгоритмических предписаний
и
умение
действовать
в
соответствии с предложенным
алгоритмом.
Понимать и использовать
математические средства
наглядности (диаграммы,
таблицы, схемы и др.) для
иллюстрации, интерпретации,
аргументации.

Степень с натуральным показателем
и ее свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение
многочленов. Формулы
сокращенного умножения: квадрат
суммы и квадрат разности. Формула
разности квадратов. Преобразование
целого выражения в многочлен.
Разложение многочлена на
множители: вынесение общего
множителя за скобки, группировка,
применение формул сокращенного
умножения.
Многочлены с одной
переменной. Корень многочлена.
Квадратный трехчлен, разложение
квадратного трехчлена на
множители

Формулировать, записывать
в символической форме и обосновывать свойства степени с
натуральным показателем;
применять свойства степени
для преобразования выражений и вычислений.
Выполнять действия с многочленами.
Выводить формулы сокращенного умножения, применять
их в преобразованиях выражений и вычислениях.
Выполнять разложение
многочленов на множители.
Распознавать
квадратный
трехчлен, выяснять возможность разложения на множители, представлять квадратный
трехчлен
в
виде
произведения
линейных
множителей.
Применять различные формы
самоконтроля при выполнении
преобразований

Умение выдвигать гипотезы
при решении учебных задач,
понимать необходимость их
проверки.
Умение самостоятельно
ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения
учебных математических проблем.
Понимать
сущности
алгоритмических предписаний
и
умение
действовать
в
соответствии с предложенным
алгоритмом.

5. Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь. Основное
свойство алгебраической дроби.
Сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
Степень с целым показателем и ее
свойства.
Рациональные выражения и их
преобразования. Доказательство
тождеств

Формулировать
основное
свойство
алгебраической
дроби и применять его для
преобразования дробей.
Выполнять
действия
с
алгебраическими дробями.
Представлять целое выражение в виде
многочлена,
дробное — в виде отношения
многочленов;
доказывать
тождества.
Формулировать определение
степени с целым показателем.
Формулировать, записывать
в символической форме и
иллюстрировать примерами
свойства степени с целым
показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений
6. Квадратные корни

Умение
применять
индуктивные и дедуктивные
способы рассуждений, видеть
различные стратегии решения
задач.
Понимать
сущности
алгоритмических предписаний
и
умение
действовать
в
соответствии с предложенным
алгоритмом;

Понятия квадратного корня,
арифметического квадратного корня.
Уравнение вида х 2 =а. Свойства
арифметических квадратных корней:
корень из произведения, частного,

Доказывать
свойства Умение
планировать
и
арифметических квадратных осуществлять деятельность, накорней; применять их для правленную на решение задач
преобразования выражений.
исследовательского характер.
Вычислять значения выраже2
ний, содержащих квадратные
степени; тождества,(√а) = а, где а≥
корни; выражать переменные
0,
из геометрических и физиче√а2 = |а| Применение свойств
ских формул.
арифметических квадратных корней Исследовать уравнение вида
для преобразования числовых вых2 = а; находить точные и приражений и вычислений
ближенные корни при
а >0
7. Уравнения с одной переменной
Уравнение с одной переменной.
Корень уравнения. Свойства
числовых равенств. Равносильность
уравнений.
Линейное
уравнение.
Решение
уравнений, сводящихся к линейным.
Квадратное уравнение. Неполные
квадратные уравнения. Формула
корней
квадратного
уравнения.
Теорема Виета. Решение уравнений,
сводящихся
к
квадратным.
Биквадратное уравнение.
Примеры
решения
уравнений
третьей
и
четвертой
степени
разложением на множители.
Решение дробно-рациональных
уравнений.

Распознавать линейные и
квадратные уравнения, целые и
дробные уравнения.
Решать линейные, квадратные
уравнения, а также уравнения,
сводящиеся к ним; решать
дробно-рациональные уравнения.
Исследовать
квадратные
уравнения по дискриминанту и
коэффициентам.
Решать текстовые задачи
алгебраическим
способом:
переходить
от
словесной
формулировки условия задачи
к
алгебраической
модели
путем составления уравнения;
37

Умение
применять
индуктивные и дедуктивные
способы рассуждений, видеть
различные стратегии решения
задач.
Первоначальные
представления об идеях и о
методах математики как универсальном языке науки и
техники, средстве моделирования явлений и процессов.
Видеть математическую задачу
в
контексте
проблемной
ситуации
в
других
дисциплинах, в окружающей
жизни.
Самостоятельно ставить цели,

Решение текстовых задач
алгебраическим способом

решать
составленное выбирать
уравнение; интерпретировать алгоритмы
результат
учебных
проблем.
8. Системы уравнений

Уравнение с двумя переменными.
Линейное уравнение с двумя
переменными. Примеры решения
уравнений в целых числах.
Система
уравнений
с
двумя
переменными.
Равносильность
систем уравнений. Система двух
линейных уравнений с двумя
переменными; решение подстановкой и сложением. Решение систем
двух уравнений, одно из которых
линейное, а другое второй степени.
Примеры
решения
систем
нелинейных уравнений.
Решение
текстовых
задач
алгебраическим способом.
Декартовы
координаты
на
плоскости.
Графическая
интерпретация уравнения с двумя
переменными.
График линейного уравнения с
двумя
переменными,
угловой
коэффициент
прямой;
условие
параллельности прямых.
Графики простейших нелинейных
уравнений (парабола, гипербола,
окружность).
Графическая интерпретация системы
уравнений с двумя переменными

Определять, является ли пара
чисел
решением
данного
уравнения с двумя переменными; приводить примеры решения уравнений с двумя переменными.
Решать
задачи,
алгебраической моделью которых является уравнение с
двумя переменными; находить
целые решения путемперебора.
Решать системы двух уравнений с двумя переменными,
указанные в содержании.
Решать текстовые задачи
алгебраическим
способом:
переходить
от
словесной
формулировки условия задачи
к алгебраической
модели
путем составления системы
уравнений;
решать
составленную систему уравнений;
интерпретировать
результат.
Строить графики уравнений с
двумя переменными.
Конструировать эквивалентные речевые высказывания с
использованием алгебраического и геометрического языков.
Решать и исследовать уравнения и системы уравнений на
основе
функциональнографических
представлений
уравнений

и
создавать
для
решения
математических

Использовать функциональнографические представления для
решения
и
исследования
уравнений и систем.
Понимать сущности
алгоритмических предписаний
и умение действовать в
соответствии с предложенным
алгоритмом.
Использовать математические
средства наглядности графики
для
интерпретации,
аргументации.

9. Неравенства
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной.
Равносильность
неравенств.
Линейные неравенства с одной
переменной.
Квадратные
неравенства.
Системы линейных неравенств с
одной переменной

Формулировать свойства
числовых неравенств, иллюстрировать их на
координатной прямой, доказывать алгебраически; применять свойства неравенств при
решении задач.
Распознавать линейные и
квадратные неравенства.
Решать линейные неравенства,
системы линейных неравенств.
38

Понимать сущности
алгоритмических предписаний
и умение действовать в
соответствии с предложенным
алгоритмом.
Использовать математические
средства наглядности графики
для интерпретации, аргументации.

Решать квадратные неравенства на основе графических
представлений
10.
Зависимость между величинами.
Представление зависимостей между
величинами
в
виде
формул.
Вычисления по формулам.
Прямая
пропорциональная
зависимость: задание формулой,
коэффициент пропорциональности;
свойства. Примеры прямо пропорциональных зависимостей.
Обратная пропорциональная зависимость: задание формулой,
коэффициент обратной пропорциональности; свойства.
Примеры обратных пропорциональных зависимостей.
Решение
задач
на
прямую
пропорциональность и обратную
пропорциональную зависимости
Понятие
функции.
Область
определения и множество значений
функции. Способы задания функции.
График функции. Свойства функции,
их
отображение
на
графике:
возрастание и убывание функции,
нули функции, сохранение знака.
Чтение и построение графиков
функций.
Примеры графиков зависимостей,
отражающих реальные процессы.
Функции, описывающие прямую и
обратную
пропорциональные
зависимости, их графики.
Линейная функция, ее график и
свойства.
Квадратичная функция, ее график и
свойства.
Степенные функции с натуральными
показателями 2 и 3 , их графики и
свойства. Графики
функций
х
у = √х; у = ; у = |х|
у

Зависимости между величинами
видеть
Составлять формулы, выра- Умение
жающие зависимости между математическую задачу в конвеличинами, вычислять по тексте проблемной ситуации в
других
дисциплинах,
в
формулам.
Распознавать
прямую
и окружающей жизни.
обратную пропорциональные Умение выдвигать гипотезы
при решении учебных задач,
зависимости.
Решать текстовые задачи на понимать необходимость их
прямую и обратную про- проверки.
применять
порциональные зависимости( Умение
в том числе с контекстом из индуктивные и дедуктивные
смежных дисциплин, из реаль- способы рассуждений, видеть
различные стратегии решения
ной жизни)
задач;

11. Числовые функции
Вычислять значения функций,
заданных формулами (при
необходимости использовать
калькулятор); составлять таблицы значений функций.
Строить по точкам графики
функций. Описывать свойства
функции на основе ее графического представления.
Моделировать
реальные
зависимости формулами и
графиками. Читать графики
реальных зависимостей.
Использовать функциональную символику для записи разнообразных фактов, связанных
с рассматриваемыми функциями,
обогащая
опыт
выполнения
знаковосимволических
действий.
Строить речевые конструкции
с
использованием
функциональной терминологии.
Использовать компьютерные
программы для построения
графиков
функций,
для
исследования положения на
координатной
плоскости
графиков функций в зависимости
от
значений
коэффициентов, входящих в
39

Умение самостоятельно
ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения
учебных математических проблем.
Умение
видеть
математическую задачу в контексте проблемной ситуации в
других
дисциплинах,
в
окружающей жизни.
Самостоятельно ставить цели,
выбирать и создавать
алгоритмы для решения
учебных математических
проблем.
Планировать и осуществлять
деятельность, направленную на
решение задач исследовательского характера.

формулу.
Распознавать виды изучаемых
функций. Показывать
схематически положение на
координатной плоскости
графиков изучаемых функций
в зависимости от значений
коэффициентов, входящих в
формулы.
Строить графики изучаемых
функций; описывать их
свойства
12. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии
Понятие числовой
Применять
индексные Понимать сущности
последовательности. Задание
обозначения, строить речевые алгоритмических предписаний
последовательности рекуррентной
высказывания с использова- и умение действовать в
формулой и формулой n-го члена.
нием терминологии, связанной соответствии с предложенным
Арифметическая и
с понятием последовательно- алгоритмом.
геометрическая прогрессии.
сти.
Видеть математическую задачу
Формулы n-го члена арифметичеВычислять члены последова- в контексте проблемной
ской и геометрической прогрессий,
тельностей, заданных форму- ситуации в других
суммы первых п членов. Изображе- лой п-го члена или рекуррент- дисциплинах, в окружающей
ние членов арифметической и
ной формулой.
жизни.
геометрической прогрессий точками Устанавливать
координатной плоскости. Линейный закономерность в построении
и экспоненциальный рост. Сложные последовательности, если изпроценты
вестны первые несколько ее
членов.
Изображать
члены
последовательности точками на
координатной плоскости.
Распознавать
арифметическую и геометрическую прогрессии при разных
способах задания.
Выводить
на
основе
доказательных
рассуждений
формулы
общего
члена
арифметической
и
геометрической
прогрессий,
суммы первых л членов
арифметической
и
геометрической прогрессий; решать задачи с использованием
этих формул.
Рассматривать примеры из
реальной
жизни,
иллюстрирующие
изменение
в
арифметической прогрессии, в
геометрической
прогрессии;
изображать соответствующие
зависимости графически.
Решать задачи на сложные
проценты, в том числе задачи
из реальной практики ( с
использованием калькулятора)
40

13. .Описательная статистика
Извлекать информацию из Понимать и использовать
Представление данных в виде
таблиц и диаграмм, вы- математические средства
таблиц, диаграмм, графиков.
полнять
вычисления
по наглядности (диаграммы,
Случайная изменчивость. Статабличным
данным. таблицы, схемы) для
тистические
Определять по диаграммам иллюстрации, интерпретации,
характеристики набора данных:
наибольшие и наименьшие аргументации.
среднее арифметическое, медиана,
сравнивать Видеть математическую задачу
наибольшее и наименьшее значения, данные,
величины.
в контексте проблемной
размах. Представление о
Представлять информацию в ситуации в других
выборочном исследовании
виде таблиц, столбчатых и дисциплинах, в окружающей
круговых диаграмм, в томчисле жизни.
с помощью компьютер- ных
программ.
Приводить примеры числовых
данных (цена, рост, время на
дорогу и т. д . ) , находить
среднее
арифметическое,
размах числовых наборов.
Приводить содержательные
примеры использования средних для описания данных (уровень воды в водоеме, спортивные показатели, определение
границ климатических зон)
14. Случайные события и вероятность
Понятие о случайном опыте и Проводить случайные экспери- Видеть математическую задачу
случайном событии. Частота
менты, в том числе с помощью в контексте проблемной
случайного события. Статистиче- компьютерного моделирования, ситуации в других
ский подход к понятию вероятно- интерпретировать их результаты. дисциплинах, в окружающей
сти. Вероятности протиВычислять частоту случайного жизни.
воположных событий. Достоверсобытия; оценивать вероятность с Умение выдвигать гипотезы
ные и невозможные события.
помощью частоты, полученной при решении учебных задач,
Равновозможность событий.
опытным путем.
понимать необходимость их
Классическое определение
Решать задачи на нахождение проверки.
вероятности
вероятностей событий.
Приводить примеры случайных
событий, в частности достоверных и невозможных событий,
маловероятных событий.
Приводить примеры
равновероятных событий
15. Элементы комбинаторики
Решение комбинаторных задач
Выполнять перебор всех воз- Понимать и использовать
перебором вариантов.
можных вариантов для пере- математические
средства
Комбинаторное правило умножения. счета объектов или комбина- наглядности
схемы
для
Перестановки и факториал
ций.
иллюстрации, интерпретации
Применять правило комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа
объектов или комбинаций
(диагонали
многоугольника,
рукопожатия, число кодов,
шифров, паролей и т. п . ) .
Распознавать
задачи
на
определение числа перестано41

вок и выполнять соответствующие вычисления.
Решать задачи на вычисление
вероятности с применением
комбинаторики
16. Множества. Элементы логики
Множество, элемент множества. Приводить
примеры Понимать и использовать
Задание множеств перечислением
конечных и бесконечных мно- математические средства
элементов, характеристическим
жеств. Находить объединениеи наглядности (диаграммы,
свойством. Стандартные
пересечение
множеств. таблицы, схемы) для
обозначения числовых множеств.
Приводить
примеры иллюстрации, интерпретации,
Пустое множество и его
несложных классификаций.
аргументации.
обозначение. Подмножество.
Использовать
теоретикоОбъединение и пересечение
множественную символику и
множеств, разность множеств.
язык при решении задач в ходе
Иллюстрация отношений между изучения различных разделов
множествами с помощью диаграмм курса.
Эйлера — Венна.
Иллюстрировать математичеПонятия о равносильности,
ские понятия и утверждения
следовании, употребление
примерами.
Использовать
логических связок если то, в
примеры и контрпримеры в
том и только том случае.
аргументации.
Логические связки и, или
Конструировать математические предложения с помощью
связок если то, в том и только
том случае, логических связок и, или
Резерв

Раздел « Геометрия»
1. Прямые и углы
Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч.
Угол. Прямой угол, острый и тупой
углы, развернутый угол. Вертикальные
и смежные углы. Биссектриса угла и ее
свойство. Свойства углов с
параллельными и перпендикулярными
сторонами. Взаимное расположение
прямых на плоскости: параллельные и
пересекающиеся прямые. Перпендикулярные прямые. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Перпендикуляр и наклонная к
прямой. Серединный перпендикуляр к
отрезку.
Свойства биссектрисы угла и
серединного перпендикуляра к отрезку.

Формулировать и доказывать
теоремы, выражающие свойства
вертикальных и смежных углов,
свойства и признаки параллельных
прямых, о единственности перпендикуляра к прямой, свойстве
перпендикуляра и наклонной,
свойствах биссектрисы угла и
серединного перпендикуляра к
отрезку.
Решать задачи на построение,
доказательство и вычисления.
Выделять в условии задачи условие
и заключение. Опираясь на условие
задачи, проводить необходимые
доказательные рассуждения.
Сопоставлять полученный
результат с условием задачи.

Уметь находить в
различных источниках
информацию, необходимую для решения
математических
проблем, и представлять
ее в понятной форме,
понимать и использовать
математические средства
наглядности (чертежи)
для иллюстрации,
интерпретации.

2.Треугольники
Треугольники. Прямоугольные,
остроугольные и тупоугольные
треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника.
Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки
равнобедренного треугольника.
Признаки равенства треугольников.
Признаки равенства прямоугольных
треугольников. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и
углами треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы
треугольника, теорема о внешнем угле
треугольника. Теорема Фалеса.
Подобие треугольников; коэффициент
подобия. Признаки подобия
треугольников.
Теорема Пифагора. Синус, косинус,
тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0 до
180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество.
Формулы, связывающие синус,
косинус, тангенс, котангенс одного и
того же угла. Решение треугольников:
теорема косинусов и теорема синусов.
Замечательные точки треугольника:
точки пересечения серединных
перпендикуляров, биссектрис, медиан,
высот и их продолжений

Формулировать
определения
прямоугольного, остроугольного,
тупоугольного,
равнобедренного,
равностороннего
треугольников;
высоты, медианы, биссектрисы,
средней
линии
треугольника;
распознавать и изображать их на
чертежах и рисунках.
Формулировать
определение
равных треугольников. Формулировать и доказывать теоремы о
признаках равенства треугольников.
Объяснять и иллюстрировать
неравенство треугольника.
Формулировать и доказывать
теоремы о свойствах и признаках
равнобедренного
треугольника,
соотношениях между сторонами и
углами треугольника, сумме углов
треугольника,
внешнем
угле
треугольника, о средней линии
треугольника.
Формулировать определение
подобных треугольников.
Формулировать и доказывать
теоремы о признаках подобия
треугольников, теорему Фалеса.
Формулировать определения и
иллюстрировать понятия синуса,
косинуса, тангенса и котангенса
острого
угла
прямоугольного
треугольника. Выводить формулы,
выражающие
функции
угла
прямоугольного треугольника через
его стороны. Формулировать и
доказывать теорему Пифагора.
Формулировать
определения
синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов от 0 до 180°.
Выводить формулы, выражающие
функции углов от 0 до 180° через
функции острых углов.
Формулировать и разъяснять
основное
тригонометрическое
тождество. По значениям одной
тригонометрической функции угла
вычислять
значения
других
тригонометрических функций этого
угла.
Формулировать и доказывать
теоремы синусов и косинусов.
Формулировать и доказывать
теоремы о точках пересечения
серединных
перпендикуляров,
43

Умение
выдвигать
гипотезы при решении
учебных задач, понимать
необходимость
их
проверки.
Умение
применять
индуктивные
и
дедуктивные
способы
рассуждений,
видеть
различные
стратегии
решения задач.
Умение самостоятельно
ставить цели, выбирать и
создавать алгоритмы для
решения
учебных
математических
проблем.
Умение планировать и
осуществлять
деятельность,
направленную на решение
задач
исследовательского характера.

биссектрис, медиан, высот или их
продолжений.
Исследовать
свойства
треугольника с помощью компьютерных программ.
Решать задачи на построение,
доказательство и вычисления.
Выделять в условии задачи
условие и заключение.
Моделировать условие задачи с
помощью чертежа или рисунка,
проводить дополнительные построения в ходе решения. Опираясь
на данные условия задачи, проводить необходимые рассуждения.
Интерпретировать полученный
результат и сопоставлять его с
условием задачи
3. Четырёхугольники
Четырехугольник.
Параллелограмм,
теоремы о свойствах сторон, углов и
диагоналей параллелограмма и его признаки.
Прямоугольник, теорема о равенстве
диагоналей прямоугольника.
Ромб, теорема о свойстве диагоналей.
Квадрат.
Трапеция, средняя линия трапеции;
равнобедренная трапеция

Формулировать
определения
параллелограмма, прямоугольника,
квадрата,
ромба,
трапеции,
равнобедренной и прямоугольной
трапеции, средней линии трапеции;
распознавать и изображать их на
чертежах и рисунках.
Формулировать и доказывать
теоремы о свойствах и признаках
параллелограмма, прямоугольника,
квадрата, ромба, трапеции.
Исследовать свойства четырехугольников с помощью
компьютерных программ.
Решать задачи на построение,
доказательство
и
вычисления.
Моделировать условие задачи с
помощью чертежа или рисунка,
проводить дополнительные построения в ходе решения.
Выделять
на
чертеже
конфигурации, необходимые для
проведения
обоснований
логических шагов решения.
Интерпретировать полученный
результат и сопоставлять его с
условием задачи
4. Многоугольники

Многоугольник. Выпуклые многоугольники. Правильные многоугольники. Теорема о сумме углов выпуклого
многоугольника. Теорема о сумме
внешних
углов
выпуклого
многоугольника

Распознавать
формулировать
приводить
многоугольников.
Формулировать
теорему о сумме
многоугольника.
44

многоугольники, Умение
выдвигать
определение и гипотезы при решении
примеры учебных задач, понимать
необходимость
их
и доказывать проверки.
углов выпуклого Умение
применять
индуктивные
и

Исследовать
свойства
многоугольников с помощью компьютерных программ.
Решать задачи на доказательство и
вычисления.
Моделировать условие задачи с
помощью чертежа или рисунка,
проводить
дополнительные
построения в ходе решения.
Интерпретировать
полученный
результат и сопоставлять его с
условием задачи

дедуктивные
способы
рассуждений,
видеть
различные
стратегии
решения задач.
Умение самостоятельно
ставить цели, выбирать и
создавать алгоритмы для
решения
учебных
математических
проблем.
Умение планировать и
осуществлять
деятельность,
направленную на решение
задач
исследовательского характера.

5. Окружность и круг
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент.
Центральный, вписанный угол, величина вписанного угла. Взаимное
расположение прямой и окружности,
двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, их свойства.
Вписанные и описанные многоугольники.
Окружность,
вписанная
в
треугольник, и окружность, описанная
около
треугольника.
Теоремы
о
существовании окружности, вписанной
в треугольник, и окружности, описанной около треугольника.
Вписанные и описанные окружности
правильного многоугольника.
Формулы для вычисления стороны правильного многоугольника; радиуса
окружности, вписанной в правильный
многоугольник; радиуса окружности,
описанной около правильного многоугольника

Формулировать определения
понятий, связанных с окружностью,
центрального и вписанного углов,
секущей и касательной к
окружности, углов, связанных с
окружностью.
Формулировать и доказывать
теоремы о вписанных углах, углах,
связанных с окружностью.
Изображать,
распознавать
и
описывать взаимное расположение
прямой и окружности.
Изображать и формулировать
определения
вписанных
и
описанных многоугольников и
треугольников;
окружности, вписанной в треугольник, и окружности, описанной
около треугольника.
Формулировать и доказывать
теоремы о вписанной и описанной
окружностях треугольника и
многоугольника.
Исследовать свойства конфигураций, связанных с окружностью,
с помощью компьютерных
программ.
Решать задачи на построение,
доказательство и вычисления.
Моделировать условие задачи с
помощью чертежа или рисунка,
проводить дополнительные построения в ходе решения.
Выделять на чертеже конфигурации,
необходимые
для
проведения обоснований логических шагов решения.
45

Интерпретировать
полученный
результат и сопоставлять его с
условием задачи
6 Геометрические преобразования
Понятие о равенстве фигур. Понятие
движения: осевая и центральная
симметрии, параллельный перенос,
поворот. Понятие о подобии фигур и
гомотетии

Объяснять и иллюстрировать Умение планировать и
понятия равенства фигур, подобия. осуществлять
Строить равные и симметричные деятельность,
нафигуры, выполнять параллельный правленную на решение
перенос и поворот.
задач
исследовательИсследовать свойства движений с ского характера.
помощью компьютерных программ.
Выполнять проекты по темам
геометрических преобразований на
плоскости
7. Построения с помощью циркуля и линейки

Построения с помощью циркуля и линейки. Основные задачи на построение:
деление отрезка пополам; построение
угла, равного данному; построение треугольника по трем сторонам;
построение перпендикуляра к прямой;
построение биссектрисы угла; деление
отрезка на п равных частей

Решать задачи на построение с
помощью циркуля и линейки.
Находить условия существования
решения, выполнять построение
точек, необходимых для построения
искомой фигуры.
Доказывать, что построенная
фигура удовлетворяет условиям задачи (определять число решений
задачи при каждом возможном
выборе данных)

Умение
видеть
математическую задачу в
контексте
проблемной
ситуации
в
других
дисциплинах,
в
окружающей жизни.
Иметь первоначальные
представления об идеях и
о методах математики
как универсальном языке
науки и техники, средстве
моделирования
явлений и процессов.

8. Измерение геометрических величин
Длина отрезка. Длина ломаной. Периметр многоугольника.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми.
Длина окружности, число л; длина дуги
окружности.
Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и
длиной дуги окружности.
Понятие площади плоских фигур.
Равносоставленные и равновеликие
фигуры. Площадь прямоугольника.
Площади параллелограмма,
треугольника и трапеции (основные
формулы). Формулы, выражающие
площадь треугольника через две
стороны и угол между ними, через
периметр и радиус вписанной окружности; формула Герона. Площадь
многоугольника. Площадь круга и
площадь сектора. Соотношение между
площадями подобных фигур

Объяснять и иллюстрировать
понятие
периметра
многоугольника.
Формулировать
определения
расстояния между точками, от
точки до прямой, между параллельными прямыми.
Формулировать
и объяснять
свойства длины, градусной меры
угла, площади.
Формулировать
соответствие
между величиной центрального
угла и длиной дуги окружности.
Объяснять и иллюстрировать
понятия
равновеликих
и
равносоставленных фигур.
Выводить формулы площадей
прямоугольника, параллелограмма,
треугольника и трапеции, а также
формулу, выражающую площадь
треугольника через две стороны и
угол между ними, длину окружности, площадь круга.
46

Находить площадь многоугольника
разбиением на треугольники и
четырехугольники.
Объяснять и иллюстрировать
отношение площадей подобных
фигур.
Решать задачи на вычисление
линейных величин, градусной меры
угла и площадей треугольников,
четырехугольников
и
многоугольников,
длины
окружности и площади круга.
Опираясь на данные
условия
задачи, находить возможности
применения необходимых формул,
преобразовывать формулы.
Использовать
формулы
для
обоснования
доказательных
рассуждений в ходе решения.
Интерпретировать полученный
результат и сопоставлять его с
условием задачи
9. Координаты
Декартовы координаты на плоскости.
Уравнение прямой. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности

Объяснять и иллюстрировать
понятие
декартовой
системы
координат.
Выводить
и
использовать
формулы
координат
середины
отрезка, расстояния между двумя
точками плоскости, уравнения
прямой и окружности.
Выполнять проекты по темам
использования
координатного
метода при решении задач на
вычисления и доказательства

10. Векторы
Вектор. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы.
Координаты вектора. Умножение
вектора на число, сумма векторов,
разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам. Угол между
векторами. Скалярное произведение
вектор

Формулировать определения и
иллюстрировать понятия вектора,
длины
(модуля)
вектора,
коллинеарных векторов, равных
векторов.
Вычислять длину и координаты
вектора.
Находить угол между векторами.
Выполнять операции над векторами.
Выполнять проекты по темам
использования векторного метода
при решении задач на вычисления и
доказательства

Умение понимать и
использовать
математические средства
наглядности.
Умение
применять
индуктивные
и
дедуктивные
способы
рассуждений,
видеть
различные
стратегии
решения задач.
Умение планировать и
осуществлять
деятельность,
направленную на решение
задач
исследовательского характера;

11. Элементы логики
Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной.
Пример и контрпример

Воспроизводить
формулировки
определений;
конструировать
несложные определения самостоятельно. Воспроизводить формулировки и доказательства изученных
теорем, проводить несложные
доказательства
самостоятельно,
ссылаться в ходе обоснований на
определения, теоремы, аксиомы